Ehilà! Sono un fornitore diSemiassee oggi voglio parlare di come calcolare il semi-asse di un'ellisse usando la geometria delle coordinate. All'inizio potrebbe sembrare un po 'tecnico, ma fidati di me, non è così complicato come sembra.
Cos'è un'ellisse?
Prima di immergerci nei calcoli, esaminiamo rapidamente ciò che è un'ellisse. Un'ellisse è una curva chiusa in un piano in cui la somma delle distanze da qualsiasi punto sulla curva a due punti fissi (chiamati focolai) è costante. Puoi pensarlo come un cerchio schiacciato. Ha due assi: l'asse maggiore, che è il diametro più lungo dell'ellisse, e l'asse minore, che è il diametro più breve. L'asse semi -maggiore (A) e l'asse semi -minore (B) sono rispettivamente la metà degli assi principali e minori.
L'equazione standard di un'ellisse
L'equazione standard di un'ellisse centrata sull'origine ((0,0)) nel piano di coordinate è disponibile in due forme a seconda del suo orientamento.
Ellisse orizzontale
Se l'asse maggiore è lungo l'asse x - Qui, (a) è l'asse semi -maggiore e (b) è l'asse semi -minore.
Ellisse verticale
Se l'asse maggiore è lungo l'asse y, l'equazione standard è (\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1), dove (a> b> 0). Ancora una volta, (a) è l'asse semi -maggiore e (b) è l'asse semi -minore.
Calcolo dei semi -assi dall'equazione
Supponiamo che tu abbia l'equazione di un'ellisse. Ad esempio, considera l'equazione (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1). Poiché il denominatore sotto (x^{2}) è più grande ((25> 9)), l'asse maggiore è lungo l'asse x.
Sappiamo che la forma standard di un'ellisse orizzontale è (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1). Confronto (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1) con il modulo standard, possiamo vedere che (a^{2} = 25) e (b^{2} = 9).
Per trovare (a) e (b), prendiamo la radice quadrata dei rispettivi valori. Quindi, (a = \ sqrt {25} = 5) e (b = \ sqrt {9} = 3). Qui, (a = 5) è l'asse semi -maggiore e (b = 3) è l'asse semi -minore.
Se avessimo un'equazione come (\ frac {x^{2}} {4}+\ frac {y^{2}} {16} = 1), poiché il denominatore sotto (y^{2}) è più grande (16> 4)), l'asse maggiore è lungo l'asse y -.
Confrontando con il modulo standard (\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1), abbiamo (b^{2} = 4) e (a^{2} = 16). Prendendo le radici quadrate, otteniamo (b = 2) e (a = 4). Quindi, l'asse semi -maggiore (A = 4) e l'asse semi -minore (b = 2).
Calcolo dei semi -assi dai punti sull'ellisse
A volte, potresti non ricevere direttamente l'equazione dell'ellisse, ma piuttosto alcuni punti sull'ellisse. Supponiamo che abbiamo un ellisse centrato sull'origine e conosciamo due punti ((x_1, y_1)) e ((x_2, y_2)) sull'ellisse.
For a horizontal ellipse (\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1), if we substitute the points ((x_1,y_1)) and ((x_2,y_2)) into the equation, we get two equations:
) )
Let (u = \ frac {1} {a^{2}}) e (v = \ frac {1} {b^{2}}). Quindi le equazioni diventano (x_ {1}^{2} u + y_ {1}^{2} v = 1) e (x_ {2}^{2} u + y_ {2}^{2} v = 1)
Possiamo risolvere questo sistema di equazioni lineari per (U) e (v) usando metodi come la sostituzione o l'eliminazione. Una volta che abbiamo (u) e (v), possiamo trovare (a = \ frac {1} {\ sqrt {u}}) e (b = \ frac {1} {\ sqrt {v}})
Ad esempio, se abbiamo i punti ((3,0)) e ((0,2)) sull'ellisse.
Sostituzione ((3,0)) in (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), otteniamo (\ frac {3^{2}} {a^{2}}+\ frac {0^{2}} {b^{2}} = 1), che semplifica a (\ frac {9} {a^{2}}} = 1), so (a^{2} = 9) e (a = 3)
Sostituzione ((0,2)) in (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), otteniamo (\ frac {0^{2}} {a^{2}}+\ frac {2^{2}} {b^{2}} = 1), che semplifica a (\ frac {4} {b^{2}} = 1), so (b^{2} = 4) e (b = 2)
Applicazioni nella vita reale
Il calcolo dei semi -assi di un'ellisse ha molte applicazioni reali. In astronomia, le orbite dei pianeti intorno al sole sono ellittiche. Calcolando i semi -assi di queste orbite, gli astronomi possono prevedere la posizione dei pianeti in momenti diversi.
In ingegneria, le forme ellittiche sono utilizzate nella progettazione di strutture come archi e cupole. Conoscere i semi -assi aiuta a determinare le dimensioni e la forza di queste strutture.
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Riferimenti
- Anton, Howard. "Calcolo: tempi di trascendenza." Wiley, 2012.
- Larson, Ron. "Calcolo." Cengage Learning, 2018.